Question

（2012?梁子湖区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，

（2012?梁子湖区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若点M是AB的中点，CM交AB于点N，AB=8，求MN?MC的值．





Answer 1

解答：解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．     
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）连接MA，MB，
∵点M是

AB

的中点，
∴

AM

＝

BM

，
∴∠BCM=∠ABM，而∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB，
∴

BM

MC

＝

MN

BM

，
又∵AB是⊙O的直径，

AM

＝

BM

，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=4

2

．                                     
∴MN?MC=BM²=32．