Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2 +mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2 +mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t。（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积；（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）把A（3，0）B（0，-3）代入 ， 得 解得 所以抛物线的解析式是 ， 设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b， 得 解得 所以直线AB的解析式是y=x-3； （2）设点P的坐标是（p，p-3），则M（p， ）， 因为p在第四象限， 所以PM= ， 当PM最长时 ， 此时 ， ； （3）若存在，则可能是： ①P在第四象限：平行四边形OBMP ，PM=OB=3，PM最长时 ，所以不可能； ②P在第一象限平行四边形OBPM，PM=OB=3， ， 解得 ， （舍去）， 所以P点的横坐标是 ； ③P在第三象限平行四边形OBPM，PM=OB=3， ， 解得 （舍去）， ， 所以P点的横坐标是 ， 所以P点的横坐标是 或 。