Question

已知奇函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数，x＞0,试问F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上单调性

Answer 1

设x1＜x2＜0则：
F（x1）-F（x2）=1/f（x1）-1/f（x2）=[f（x2）-f（x1）]/f（x1）f（x2）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又x1＜x2＜0
∴-x1＞-x2＞0
∴f（-x1）＞f（-x2）
又f（x）是奇函数，f（-x1）=-f（x1），f（-x2）=-f（x2）
∴-f（x1）＞-f（x2）
∴f（x2）-f（x1）＞0；
本题少个条件吧，f（x）在（0，+∞）上必须是f（x）＞0吧？
这样f（x1）f（x2）＞0
∴[f（x2）-f（x1）]/f（x1）f（x2）＞0
∴F(x1)-F（x2）＞0
∴F（x）在（-∞，0）上是减函数；