Question

已知三角形ABC三内角A,B,C成等差数列，求证:对应三边abc满足1/(a+b)+1/(b+c)

已知三角形ABC三内角A,B,C成等差数列，求证:对应三边abc满足1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)

Answer 1

设 ∠A=a°，公差是x°

a+a+x+a+x+x=180°

3a+3x=180°

a+x=60°

∠B=60°

BD=c/2

CD=a-c/2

AD²=AB²-BD²=c²-(c/2)²=3c²/4

AC²=AD²+CD²=3c²/4+(a-c/2)²=3c²/4+a²-ac+c²/4=a²-ac+c²

即：b²=a²-ac+c²

再来看

1/(a+b)+1/(b+c)-3/(a+b+c)

=[(b+c)(a+b+c)+(a+b)(a+b+c)-3(a+b)(b+c)]/[(a+b)(b+c)(a+b+c)]

把分母放在一边不管，只看分子：

(b+c)(a+b+c)+(a+b)(a+b+c)-3(a+b)(b+c)

=(ab+b²+bc+ac+bc+c²)+(a²+ab+ac+ab+b²+bc)-3(ab+ac+b²+bc)

=3ab+2b²+3bc+2ac+c²+a²-3ab-3ac-3b²-3bc

=a²-ac+c²-b²

=0

∴1/(a+b)+1/(b+c)-3/(a+b+c)=0

∴1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)

追问

谢谢

追答

还有个特殊情况，就是30°、60°、90°
不用谢，采纳就是最好的感谢：）