已知函数f（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x
已知函数f（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）求证：l...
已知函数f（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）求证：ln[1+2×3(3?1)2]+ln[1+2×32(32?1)2]+…+ln[1+2×3n(3n?1)2]＜2．
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（Ⅰ）解：f′（x）=ex-a（1分）
∴a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增． （2分）
a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），a＞0时，f（x）min=f（lna），∴f（lna）≥0（5分）
即a-alna-1≥0，记g（a）=a-alna-1（a＞0）∵g′（a）=1-（lna+1）=-lna∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上递减∴g（a）≤g（1）=0
故g（a）=0，得a=（18分）
（Ⅲ）证明：方法一：由（Ⅱ）ex≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞-1），则x＞0时，ln（1+x）＜x
要证原不等式成立，只需证：
＜2，即证：
＜1
下证
≤
?
①（9分）
?
≤
?4（32k-2?3k+1）≥3?32k-4?3k+1?32k-4?3k+3≥0?（3k-1）（3k-3）≥0
①中令k=1，2，…，n，各式相加，得
＜(
?
)+(
?
)+…+(
?
∴a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增． （2分）
a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），a＞0时，f（x）min=f（lna），∴f（lna）≥0（5分）
即a-alna-1≥0，记g（a）=a-alna-1（a＞0）∵g′（a）=1-（lna+1）=-lna∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上递减∴g（a）≤g（1）=0
故g（a）=0，得a=（18分）
（Ⅲ）证明：方法一：由（Ⅱ）ex≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞-1），则x＞0时，ln（1+x）＜x
要证原不等式成立，只需证：
| n |
 |
| k＝1 |
| 2×3k |
| (3k?1)2 |
| n |
|
| k＝1 |
| 3k |
| (3k?1)2 |
下证
| 3k |
| (3k?1)2 |
| 2 |
| 3k?1 |
| 2 |
| 3k+1?1 |
?
| 3k |
| 32k?2?3k+1 |
| 4?3k |
| 3?32k?4?3k+1 |
?4（32k-2?3k+1）≥3?32k-4?3k+1?32k-4?3k+3≥0?（3k-1）（3k-3）≥0
①中令k=1，2，…，n，各式相加，得
| n |
|
| k＝1 |
| 3k |
| (3k?1)2 |
| 2 |
| 31?1 |
| 2 |
| 32?1 |
| 2 |
| 32?1 |
| 2 |
| 33?1 |
| 2 |
| 3n?1 |
| 2 |
3
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