Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，E为AC中点，连接ED并延长交CB的延长线于F（1）求证：△C

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，E为AC中点，连接ED并延长交CB的延长线于F（1）求证：△CDF∽△DBF；（2）若AC=4，BC=3，求BD及DFCF；（3）若（2）的条件不变，P为△ACD的重心，求P到AC的距离．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB于D，
∴∠BCD=∠A，
∵E是AC的中点，∴AE=ED，∴∠A=∠EDA=∠FDB，
∴∠FDB=∠FCD，
又∠F=∠F，
∴△CDF∽△DBF．

（2）AC=4，BC=3，∴AB=5，CD=

12

5

．
△BCD∽△BAC，∴BC²=BD?BA，∴BD=

BC2

BA

=

9

5

．
由（1）得：

DF

CF

=

DB

CD

=

9 5

12 5

=

3

4

．

（3）如图：
过点D作DH⊥AC于H，过点P作PG⊥AC于G，
则：AC=4，CD=2.4，AD=3.2，
DH=

CD?AD

AC

=1.92．
PG=

1

3

DH=0.64．
所以P到AC的距离为0.64．