Question

设函数f（x）= （ax²+1）/（bx+c）（分数）（a，b，c∈Z）是奇函数，且在[1 ，+∞）上单调递增，f(1)

设函数f（x）= （ax²+1）/（bx+c）（分数）（a，b，c∈Z）是奇函数，且在[1
，+∞）上单调递增，f(1)=2,f(2)＜3，求a，b，c的值

Answer 1

奇函数 f(-x)=-f(x) 带入可得 (ax²+1)/(-bx+c)=(ax²+1)/(-bx-c)
对比之下 可得-bx+c=-bx-c 可知C=0
f(x)=（ax²+1）/bx f(1)=2 带入可得
(a+1)/b=2并且f(2)=(4a+1)/2b<3 a,b∈Z 三个条件同时满足
不难求出a<2 若a=0 则b=1/2 不和题意
此时a一定等于1 此时b=1
问题迎刃而解

Answer 2

f(-x)=-f(x)
(ax�0�5+1)/(c-bx) = -(ax�0�5+1)/(bx+c)
bx-c=bx+c
c=-c
c=0

f(1)=(a+1)/b =2
a=2b-1

当x≥1时，f′(x)=[(2ax)(bx)-b(ax�0�5)]/(bx)�0�5＞0
2abx�0�5-abx�0�5＞0
abx�0�5＞0
所以a和b为同号

f(2)＜3
(4a+1)/2b ＜3
因为2b=a+1
（4a+1）/(a+1)＜3
(4a+1-3a-3)/(a+1)＜0
(a-2)/(a+1)＜0
-1＜a＜2

因为abc均属于整数
当当a=0时，不成立
当a=1时 b=(a+1)/2=1符合条件

所以a=1 b=1 c=0