Question

已知点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE．①问线

已知点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE．①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE又有怎样的数量关系？并说明理由；∠BMC=______（用α表示）．

Answer 1

解：（1）①BD=CE，
理由：∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=α，
∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α，
同理可得出：∠BAC=180°-2α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠EAD=180°-2α；

（2）BD=kCE，
理由：∵AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠ABC=∠ADE=α，
∴∠BAC=

180°?α

2

，
同理可得出：∠DAE=

180°?α

2

，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAE+∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
∵ABC=kAC，AD=ED=kAE，
∴

AB

AC

=

AD

AE

=k，
∴△ABD∽△ACE，
∴

BD

CE

=

AD

AE

=k，
∴BD=kCE，
∴∠BMC=∠EAD=90°-

1

2

α．
故答案为：90°-

1

2

α．