（2014?金华模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC=3，AB=23，AC=2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面
（2014?金华模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC=3，AB=23，AC=2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A-PB-C的...
（2014?金华模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC=3，AB=23，AC=2．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A-PB-C的正切值．
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（Ⅰ）证明：设D为BC的中点，连结AD，DP．因为AD⊥AC，所以DA=DB=DC．…（2分）
因为PA=PB=PC，所以△PAD≌△PBD≌△PCD，
所以∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，
即PD⊥平面ABC …（5分）
因为PD?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABC．…（7分）
（Ⅱ）解：过A作AE⊥BC于E，过E作EG⊥PB于G，连结AG．
由（Ⅰ） 平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC=BC，
所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥PB，…（9分）
又EG⊥PB，且AE，EG?平面AEG，AE∩EG=E，
所以PB⊥平面AEG，又AG?平面AEG，所以PB⊥AG；
所以∠AGE即为二面角A-PB-C的平面角．…（11分）
在Rt△ABC中，AB=2
| 3 |
| 3 |
| 5 |
在等腰△PBC中，PB=3，AC=2，可得sin∠PBC=
| ||
| 3 |
| 5 |
所以，在Rt△AEG中，tan∠AGE=
| AE |
| EG |
| ||
| 5 |
即二面角A-PB-C的正切值为
|
