Question

（2014?天门模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC．（1）求证∠PDC=90°，并指出

（2014?天门模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC．（1）求证∠PDC=90°，并指出异面直线PA与CD所成角的大小；（2）在棱PD上是否存在一点E，使得PB∥平面EAC？如果存在，求出此时三棱锥E-PBC与四棱锥P-ABCD的体积比；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵PA⊥平面PDC，CD?平面PDC，
∴PA⊥CD，
即异面直线PA与CD所成角为90°…（2分），
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD⊥CD，
又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD …（4分）
又∵PD?平面PAD，
∴CD⊥PD，
∴∠PDC=90°…（6分）
（2）当点E为棱PD的中点时，PB∥平面EAC…（6分）
下面证明并求体积比：
取棱PD的中点E，连接BD与AC相交于点O，连接EO．
∵四边形ABCD为矩形，
∴O为BD的中点
又E为棱PD的中点，
∴PB∥EO．
∵PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴PB∥平面EAC…（8分）
当E为棱PD的中点时，V_E-PBC=

1

2

V_D-PBC，
又V_D-PBC=

1

2

V_P-ABCD，
∴V_E-PBC=

1

4

V_P-ABCD
即三棱锥E-PBC与四棱锥P-ABCD的体积比为1：4…（13分）