Question

已知函数f（x）=2x|2x-a|+b．（Ⅰ） 当a=1，b=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ） 当a=b=4

已知函数f（x）=2x|2x-a|+b．（Ⅰ） 当a=1，b=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ） 当a=b=4时，若f（x）=5，求x的值；（Ⅲ） 若b＜-4，且b为常数，对于任意x∈（0，2]，都有f（log2x）＜0成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） 当a=1，b=0时，f（x）=2^x|2^x-1|．
∵f（1）=2，f（-1）=

1

2

×

1

2

＝

1

4

，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
故函数f（x）为非奇非偶函数；
（Ⅱ） 当a=b=4时，若f（x）=5，
则f（x）=2^x|2^x-4|+4=5．
即2^x|2^x-4|=1．
若2^x-4≥0，即x≥2，则等价为2^x（2^x-4）-1=0．
即（2^x）²-4?2^x-1=0
解得2^x=2+

5

，即x＝log2(2+

5

)；
若2^x-4＜0，即x＜2，则等价为-2^x（2^x-4）-1=0．
即（2^x）²-4?2^x+1=0
解得2^x=2-

3

，
即x＝log2(2?

3

)，
综上x＝log2(2?

3

)或x＝log2(2+

5

)；
（Ⅲ） 不等式等价于x+

b

x

＜a＜x?

b

x

，
根据函数的单调性，x+

b

x

的最大值为2+

b

2

，x?

b

x

的最小值为2?

b

2

，
所以 2+

b

2

＜a＜2?

b

2

．