Question

已知函数f(x)=a-2x．（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）在（-...

已知函数f(x)=a-2x． （Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性； （Ⅱ）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并用定义证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得
2x≠0，解得
x≠0，故函数f（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称．
由f(x)=a-2x，可得f(-x)=a+2x，
若f（x）=f（-x），则4x=0，无解，故f（x）不是偶函数．
若f（-x）=-f（x），则a=0，显然a=0时，f（x）为奇函数．
综上，当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）不具备奇偶性
（Ⅱ）函数f（x）在（-∞，0）上单调递增；
证明：设
x1＜x2＜0，则f(x2)-f(x1)=(a-2x2)-(a-2x1)=2x1-2x2=2(x2-x1)x1x2，
由x1＜x2＜0，可得
x1x2＞0，x2
-x1＞0，
从而2(x2-x1)x1x2＞0，故f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增．