Question

在同圆或等圆中，同弧或等弧多对的圆周角相等。怎么证？

Answer 1

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.

证明：

情况1：

如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

图1

∵OA、OC是半径

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2：

如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D

图2

∵OA、OB、OC是半径

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情况3：

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：

图3

连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。

解：∵OA、OB、OC、是半径

∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

Answer 2

证：
（一）如果圆周角ABC的边AB经过原点O,
此时△AOC中,AO=CO--->角A=角OCA
圆心角OBC是△AOC的外角,故角BOC=2角OAC,
因此,角OAC=(1/2)角BOC.所以圆周角BAC=圆心角BOC的一半
（二）如果圆心O在△ABC的内部,则直径AD“分割”△ABC为△ABD和△ACD.前证,角BAD=(1/2)角BOD,角DAC=(1/2)角DOC
因此,角BAD+角DAC=(1/2)(角BOD+角DOC）
所以,角BAC=(1/2)角BOC
（三）如果O在△ABC之外,则直径AD“分割”△ABC为△ABD和△ACD,前证,角BAD=(1/2)角BOD,角DAC=(1/2)角DOC）
所以,角BAD-角CAD=(1/2)(角BOD-角COD)
故角BAC=(1/2)角BOC.
希望对你有所帮助!

Answer 3

今年吧