Question

已知椭圆 的离心率为 ，左右焦点分别为 ，且 .（1）求椭圆C的方程；（2）过点 的直线与椭圆 相交于

已知椭圆 的离心率为 ，左右焦点分别为 ，且 .（1）求椭圆C的方程；（2）过点 的直线与椭圆 相交于 两点，且 ，求 的面积.

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Answer 1

（1） ；（2）

试题分析：（1）因为要求椭圆的方程，必须求出两个关于椭圆的三个基本量 的等式，依题意可得，离心率，焦距的长即可求出相应的 的大小，从而可求出椭圆的方程. （2）要求三角形的面积通过求出弦长和焦点到直线的距离，从而根据三角形的面积可得三角形的面积.弦长公式的计算需要具备解方程的能力，应用韦达定理，弦长公式，化简等式的能力；运用点到直线的距离公式计算三角形的高. 试题解析：（1）由已知 ，所以 . 因为椭圆 的离心率为 ，所以 . 所以 . 所以 ， 故椭圆C的方程为 . （2）若直线 的方程为 ，则 ，不符合题意. 设直线 的方程为 ， 由    消去y得 ， 显然 成立，设 ， 则   . 由已知 ，解得 .当 ，直线 的方程为 ，即 ， 点 到直线 的距离 .所以 的面 积 . 当 ， 的面积也等于 . 综上， 的面积等于 .