Question

已知椭圆 经过点（0， ），离心率为 ，直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交 椭圆于 A 、 B 两点，点 A

已知椭圆 经过点（0， ），离心率为 ，直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交 椭圆于 A 、 B 两点，点 A 、 F 、 B 在直线 x =4上的射影依次为点 D 、 K 、 E .（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若直线 l 交 y 轴于点 M ，且 ，当直线 l 的倾斜角变化时，探求 的值是否为定值？若是，求出 的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接 AE 、 BD ，试探索当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

Answer 1

已知椭圆 经过点（0， ），离心率为 ，直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交 椭圆于 A 、 B 两点，点 A 、 F 、 B 在直线 x =4上的射影依次为点 D 、 K 、 E . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若直线 l 交 y 轴于点 M ，且 ，当直线 l 的倾斜角变化时，探求  的值是否为定值？若是，求出 的值，否则，说明理由； （Ⅲ）连接 AE 、 BD ，试探索当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

(Ⅰ)依题意得 b = ， ， ，∴ a =2， c =1， ∴ 椭圆 C 的方程 .………………3分 (Ⅱ)因直线 l 与 y 轴相交，故斜率存在，设直线 l 方程为： ，求得 l 与 y 轴交于 M (0，- k )，又 F 坐标为 (1，0)，设 l 交椭圆于 ， 由  消去 y 得 ， ，………5分 又由  ∴ ， 同理 ， ， …………………7分 所以当直线 l 的倾斜角变化时， 的值为定值 .………………8分 （Ⅲ）当直线 l 斜率不存在时，直线 l ⊥ x 轴，则 为矩形，由对称性知， AE 与 BD 相交于 FK 的中点 ，猜想，当直线 l 的倾斜角变化时， AE 与 BD 相交于定 点 ， 证明：由（Ⅱ）知 ， ， 当直线 l 的倾斜角变化时，首先证直线 AE 过定点 ， 当 时， . …………………11分 ∴点 在直线 上，同理可证，点 也在直线 上； ∴当 m 变化时， AE 与 BD 相交于定点 ，

略