Question

已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点D（1， ）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆

已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点D（1， ）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）求 的值（3）求|PQ|的最小值．

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Answer 1

解：（1）椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ， ∴ = = ， ∴b 2 = a 2   ① 再由椭圆经过点D（1， ），可得 ，即 ②． 由①②解得 a 2 =4，b 2 =3， 故椭圆C的方程 ． （2）由题意可得 A（﹣2，0），B（2，0）， ∵M为椭圆上一点，可设M（2cosθ， sinθ）． ∵直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q，椭圆右准线L方程为 x=4， 故可设p（4，y 1 ），Q（4，y 2 ）． 由题意可得 A、M、P三点共线，可得 K AM =K AP ， ∴ = ，∴y 1 =3 ． 再由M、B、P 三点共线，可得 K BM =K BQ ， ∴ = ，∴y 2 = ． ∴ =（6，3 ）， =（2， ）． ∴ =（6，3 ）（2， ） =12+3 =12+9 =12﹣9=3， 即 =3． （3）由（2）|y p ||y q |=9， ∴|PQ|=|y p ﹣y q |=|y p |+|y q |≥2 =6， 当且仅当|y p |=|y q |时等号成立， 故|PQ|的最小值为6．