Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4．（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面B1AC；（

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4．（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面B1AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面BDD1B1所成的角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AC．
又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵BD∩BB₁=B，BD?平面BDD₁B₁，BB₁?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥平面BDD₁B₁．
∵AC?平面B₁AC，
∴平面BDD₁B₁⊥平面B₁AC．…（6分）
（Ⅱ）设AC与BD交于点O，连结B₁O．
由（Ⅰ）知AC⊥平面BDD₁B₁，
∴B₁O为斜线AB₁在平面BDD₁B₁内的射影，
∴∠AB₁O为AB₁与平面BDD₁A₁所成的角．
在底面正方形ABCD中，求得AO＝

2

，
在侧面矩形ABB₁A₁中，求得AB1＝

20

＝2

5

．
在Rt△AB₁O中，求得sin∠AB1O＝

2

2 5

＝

10

10

．
∴直线AB₁与平面BDD₁A₁所成的角的正弦值为

10

10

．…（13分）