Question

已知m，n是正整数，f（x）=（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为7，求f（x）展开式中x2的系数的最小值，

已知m，n是正整数，f（x）=（1+x）m+（1+x）n的展开式中x的系数为7，求f（x）展开式中x2的系数的最小值，并求这时f（0.003）的近似值（精确到0.01）．

Answer 1

由题意可得m+n=7≥2

mn

，∴mn≤

49

4

，故mn最大为12，此时，m、n一个为3，另一个为4．
∵f（x）展开式中x²的系数为

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m?1)

2

+

n(n?1)

2

=

m2+n2?(m+n)

2

=

m2+n2?7

2

=

(m+n)2?2mn?7

2

≥

49?24?7

2

=9，
即f（x）展开式中x²的系数的最小值为9．
f（0.03）=（1+0.03）⁴+（1+0.03）³≈（1+

C

1 4

×0.03）+（1+

C

1 3

×0.03）=2.21，
即f（0.003）的近似值为 2.21．