Question

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（1）求g（x）在定义域内的最小值；（2）若g（a）-g（x）＜1a对

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（1）求g（x）在定义域内的最小值；（2）若g（a）-g（x）＜1a对任意x＞0都成立，求实数a的取值范围；（3）讨论g（x）与g（1x）的大小．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x），
∴f′(x)＝

1

x

，g（x）=lnx+

1

x

，其定义域为（0，+∞），
g′(x)＝

1

x

?

1

x2

=

x?1

x2

，x＞0，
由g′（x）=0，得x=1，由g′（x）＞0，得x＞1，
由g′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴当x=1时，g（x）在定义域（0，+∞）内有最小值为g（x）_min=g（1）=1．
（2）∵g（x）=lnx+

1

x

，x＞0，∴g（a）=lna+

1

a

，a＞0，
∵g（a）-g（x）＜

1

a

对任意x＞0都成立，
∴lna+

1

a

-g（x）＜

1

a

对任意x＞0都成立，
即lna＜g（x）对任意x＞0都成立，
∴lna＜g（x）_min=lne，∴0＜a＜e，
∴实数a的取值范围是（0，e）．
（3）∵g（x）=lnx+

1

x

，x＞0，
∴g（

1

x

）=ln

1

x

+x=-lnx+x，x＞0，
设h（x）=g（x）-g（

1

x

）=lnx+

1

x

-（-lnx+x）=2lnx+

1

x

?x，x＞0，
则h′(x)＝

2

x

?

1

x2

?1=-

x2?2x+1

x2

=-

(x?1)2

x2

，x＞0，
显然h′（x）≤0在x∈（0，+∞）恒成立，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，
又h（1）=0，∴当x=1时，h（x）=0，即g（x）=g（

1

x

），
∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞g（

1

x

），
∴当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜g（

1

x

）
综上所述：当x=1时，g（x）=g（

1

x

）；当0＜x＜1时，g（x）＞g（

1

x

）；
当x＞1时，g（x）＜g（

1

x

）．