Question

已知圆C：（x-a）2+（y-a-1）2=9，其中a为实常数．（1）若直线l：x+y-3=0被圆C截得的弦长为2，求a的值；

已知圆C：（x-a）2+（y-a-1）2=9，其中a为实常数．（1）若直线l：x+y-3=0被圆C截得的弦长为2，求a的值；（2）设点A（3，0），0为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由圆的方程知，圆C的圆心为C（a，a+1），半径为3…（1分）
设圆心C到直线l的距离为d，
∵l被圆C截得弦长为2，
∴d²+1=9，即d=2

2

，
∴

|a+(a+1)?3|

2

＝2

2

，即|a-1|=2，
∴a=-1或a=3…（5分）
（2）设M（x，y），由|MA|=2|MO|，得

(x?3)2+y2

＝2

x2+y2

即x²+y²+2x-3=0…（7分）
∴点M在圆心为D（-1，0），半径为2的圆上．
又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，
∴1≤|CD|≤5…（9分）
∴1≤

(a+1)2+(a+1)2

≤5，
解得?1?

5 2

2

≤a≤?1?

2

2

或?1+

2

2

≤a≤?1+

5 2

2

…（11分）
故a的取值范围是[?1?

5 2

2

，?1?

2

2

]∪[?1+

2

2

，?1+

5 2

2

]…（12分）