不定积分x^2+2x^5cosx+1)dx
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∵∫x^5cosxdx
=∫x^5d(sinx)=x^5sinx-∫sinxd(x^5)=x^5sinx-ln5∫x^5sinxdx=x^5sinx+ln5∫x^5d(cosx)
=x^5sinx+ln5·x^5cosx-ln5∫cosxd(x^2)=x^5sinx+ln5·x^5cosx-(ln5)^2·∫x^5cosxdx,
∴[1+(ln5)^2]∫x^5cosxdx=x^5sinx+ln5·x^5cosx,
∴∫x^5cosxdx=(x^5sinx+ln5·x^5cosx)/[1+(ln5)^2]。
于是:
∫(x^2+2x^5cosx+1)dx
=∫x^2dx+2∫x^5cosxdx+∫dx=(1/3)x^3+2(x^5sinx+ln5·x^5cosx)/[1+(ln5)^2]+x+C。
=∫x^5d(sinx)=x^5sinx-∫sinxd(x^5)=x^5sinx-ln5∫x^5sinxdx=x^5sinx+ln5∫x^5d(cosx)
=x^5sinx+ln5·x^5cosx-ln5∫cosxd(x^2)=x^5sinx+ln5·x^5cosx-(ln5)^2·∫x^5cosxdx,
∴[1+(ln5)^2]∫x^5cosxdx=x^5sinx+ln5·x^5cosx,
∴∫x^5cosxdx=(x^5sinx+ln5·x^5cosx)/[1+(ln5)^2]。
于是:
∫(x^2+2x^5cosx+1)dx
=∫x^2dx+2∫x^5cosxdx+∫dx=(1/3)x^3+2(x^5sinx+ln5·x^5cosx)/[1+(ln5)^2]+x+C。
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