Question

讨论f(X)=2x+1/x^2在x>0上的单调性

别用导数

Answer 1

解：
①设0<X1<X2<1
则f(X1)-f(X2)
=2X1+1/X1²-2X2-1/X2²
=2(X1-X2)+(X2²-X1²)/X1²X2²
=2(X1-X2)+(X2-X1)(X2+X1)/X1²X2²
=(X1-X2)[2-(X1+X2)/X1²X2²]
=(X1-X2)[2-1/X1X2²-1/X1²X2]
∵0<X1,X2<1
∴X1X2<1
∴X1X2²<1,X1²X2<1
∴1/X1X2²>1,1/X1²X2>1
∴2-1/X1X2²-1/X1²X2<0
又∵X1-X2<0
∴f(X1)-f(X2)>0,即f(X1)>f(X2)
即当0<X1<X2<1时，f(X1)>f(X2)
∴在区间(0,1)上，f(x)为减函数
②设X1>X2>1
则f(X1)-f(X2)=(X1-X2)[2-1/X1X2²-1/X1²X2]
∵X1,X2>1
∴X1X2²>1,X1²X2>1
∴1/X1X2²<1,1/X1²X2<1
∴2-1/X1X2²-1/X1²X2>0
又∵X1>X2,∴X1-X2>0
∴f(X1)-f(X2)>0,即f(X1)>f(X2)
即当X1>X2>1时，f(X1)>f(X2)
∴在区间(1,+00)上f(x)为增函数

综上所述：
f(x)在区间(0,1)上为减函数，在区间(1,+00)上为增函数

Answer 2

f(x)=2x+1/x^2 x>0

f'(x)= 2 - 2/x^3 = 2(1-1/x^3) > 0 -->
x^3 > 1 , x>0 --->
x > 1

∴
f(X)=2x+1/x^2在x>1时，单调递增，
在0<x<1时，单调递减