Question

数列{An｝满足a1=2,an+1=2an+3,求数列{nAn｝的前n项和Sn

数列{An｝满足a1=2,an+1=2an+3,求数列{nAn｝的前n项和Sn

Answer 1

∵an+1=2an+3,∴左右两边同时加3得
a（n+1）+3=2an+6
a（n+1）+3=2（an+3）
∴{a（n+1）+3}/an+3=2
因为a1+3=5
∴{an+3}是以首项是5，公比是2的等比数列
an+3的通项是5×2^（n-1）
所以an=5×2^（n-1） -3
设数列bn=nAn
所以{bn}通项n×{5×2^（n-1）} -3n
Sn=b1+b2+b3…bn
Sn={1×（5×2^0）-3×1}+{2×（5×2^1）-3×2}+{3×（5×2^2）-3×3}+……n×{5×2^（n-1）} -3n
Sn=5（1×2^0+2×2^1+3×2^2+…n×2^（n-1））-3（1+2+3+…+n）
Sn=5（1×2^0+2×2^1+3×2^2+…n×2^（n-1））-{3（1+n）n}/2 ①
错位相加法：
2Sn=5（2×1×2^0+2×2×2^1+2×3×2^2+…2×n×2^（n-1））-{3（1+n）n}
2Sn=5（1×2^1+2×2^2+3×2^3+…n×2^n）-（3n+3n²）②
①-②：
-Sn=5（1×2^0-1×2^1+2×2^1-2×2^2+3×2^2+…+3×2^n-n×2^n）+（3n+3n²）/2
-Sn=5（1+3×2^1+3×2^2+3×2^3+…+3×2^n - n×2^n）+（3n+3n²）/2
Sn=-5{1+3（2^1+2^2+2^3+…+2^n）- n×2^n}-（3n+3n²）/2
Sn=-5{1+3[-2×(1-2^n)]- n×2^n}-（3n+3n²）/2
Sn=25-（30+n）2^n -（3n+3n²）/2
太复杂了不知最后算对没？思路是这样的

Answer 2

a<n+1>=2an+3,
∴a<n+1>+3=2(an+3),
∴{an+3}是公比为2的等比数列，a1=2,
∴an=5*2^(n-1)-3.
∴{nAn｝的前n项和Sn
=5[1+2*2+3*2^2+……+n*2^(n-1)]-3(1+2+3+……+n),
设Tn=1+2*2+3*2^2+……+n*2^(n-1),则
2Tn=.....2+2*2^2+……+n*2^n,
相减得-Tn=1+2+2^2+……+2^(n-1)-n*2^n
=2^n-1-n*2^n,
∴Tn=1+(n-1)*2^n,
∴Sn=5[1+(n-1)*2^n]-3n(n+1)/2.

Answer 3

设为：An+1 +x=2（An +x），拆开后与给的那个式比得x=3.可知{An+1 +3}为等
n-1 n-1
比数列，然后靠自己得出：An=5*2 -3.然后由题只｛nAn｝为5n*2 -3n.
Sn然后就根据定义求吧