Question

高中数学思考题，难，高手请进！！

给定函数f(x)=e^x-ex+1(其中e=2.71......为自然对数的底)
证明:方程F(x)=x必有两个实数根，且较大的根必在（ln(e+1),2)内。

Answer 1

你可能抄错题了，应为f(x)=e^x-ex-1.
因为 f'(x)=e^x-e,令f'(x)=e^x-e=0得 x=1,x<1时f'(x)<0,递减；
x>1时，f'(x)>0,递增，在x=1处有极小值，
而f(x)=e^x-ex+1在x=1处的值为1>0，此时原函数不可能有根，所以+1是错的。
改为f(x)=e^x-ex-1后，极小值为-1，此时x=0就是其中一根。
考察x=ln(e+1)和x=2处的函数值，有：
f(ln(e+1))=e^(ln(e+1))-e[ln(e+1)]-1=e-eln(e+1)=eln[e/(e+1)]<0,
而f(2)=e^2-2e-1=(e-1)^2-2,因为e>2.5,所以e-1>1.5,(e-1)^2-2>2.25-2>0,
所以另一根在（ln(e+1),2)内。