Question

已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上

已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上
悬赏分：10 - 提问时间2010-4-4 16:51 问题为何被关闭
已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有3个零点，且1是其中一个零点。
（1），求b的值
（2），求f(2)的取值范围
（3），试探究直线y=x-1与函数y=f(x)的图像讲点个数情况，并说明理由

Answer 1

(1)f'(x)=-3x^2+2ax+b。因为f(x)在(-∞,0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，所以f'(0)=0，代入上式化简即得b=0。
(2)不失一般性设f(x)=0的三个根满足x1＜x2＜x3，其中显然x2=1，x1＜0，x3＞1。根据Vieta定理，x1+x2+x3=a，x1x2+x2x3+x3x1=0，x1x2x3=c。代入x2=1化简消元得：x1+x3=a-1，x1+x3+x1x3=0，x1x3=c，再合并得c=1-a。带回原函数式得：f(x)=-x^3+ax^2+1-a。
f'(1)=-3+2a＞0，得a＞3/2。所以，f(2)=-8+4a+1-a=3a-7＞3*3/2-7=-5/2。即f(2)的取值范围是(-5/2,+∞)。
(3)将y=x-1代入y=f(x)消去y化简得：x^3-ax^2+x+a-2=0。
因为x=1已经是上式的一个根了，所以提取因式(x-1)有(x-1)[x^2+(1-a)x+(2-a)]=0，剩下的部分即为x^2+(1-a)x+(2-a)=0，△=(1-a)^2-4(2-a)=a^2+2a-7。
(i)当△＜0时，-2√2-1＜a＜2√2-1，此时两图像仅有一个交点；
(ii)当△=0时，a=-2√2-1或2√2-1，此时两图像有两个交点；
(iii)当△＞0时，a＜-2√2-1或a＞2√2-1，此时两图像有三个交点。