Question

求定积分∫[1,-1]xcos2x dx

要过程谢谢
∫[1,-1]xsin^2x dx答案和这个是不是一样也要过程谢谢

Answer 1

实际上x*cosx是一个奇函数，
那么积分之后得到的是偶函数，
所以代入互为相反数的上下限1和-1，
定积分值为0

如果使用分部积分法
∫ x cos2x dx
=∫ x/2 d(sin2x)
= x/2 * sin2x - ∫sin2x d(x/2)
=x/2 * sin2x - 1/4 *∫sin2x d 2x
=x/2 * sin2x +1/4 *cos2x
代入上下限1和-1，显然定积分结果为0

而同样x sin^2x也是奇函数，
定积分之后代入上下限1和-1，值也为0
使用分部积分法的话
∫x sin^2x dx
=∫ x *(1/2- 1/2*cosx)dx
=1/4 *x^2 - ∫ x/2 d(sinx)
=1/4 *x^2 - x/2 *sinx + ∫ 1/2*sinx dx
=1/4 *x^2 - x/2 *sinx - 1/2 *cosx
显然代入上下限1和-1等于0

追问

不太懂为什么带入就等于0，我自己算的最后一步是和你一样的啊但是我带进去算不等于0啊

追答

x/2 * sin2x +1/4 *cos2x

代入上下限1和-1
1/2 *sin2 +1/4 *cos2 - (-1/2)*sin(-1/2) - 1/4 *cos(-2)
=1/2 *sin2 +1/4 *cos2 - 1/2 *sin2 - 1/4 *cos2
这当然就是等于0的

1/4 *x^2 - x/2 *sinx - 1/2 *cosx

代入上下限1和-1
1/4 -1/2 *sin1 -1/2 *cos1/2 -1/4 -(-1/2)*sin(-1) -1/2 *(cos-1)
当然也还是0