Question

已知奇函数f(x)，偶函数g(x)满足f（x）+g（x）=a^x（a＞0 ，a ≠1），求证:f(2x)=2f(x)*g(x)

Answer 1

因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
所以f(-x) = -f(x) ,g(-x) =g(x)
因为 f（x）+g（x）= a^x
所以 f(-x) + g(-x) = a^(-x)
即 -f(x) + g(x) = a^(-x)
和原式相加得：
2g(x) = a^x + a^(-x)
所以g(x) = [a^x + a^(-x)]/2
所以f(x) = [a^x - a^(-x)]/2

所以f(2x)=2f(x)*g(x)
f(2x) = [a^2x -a^(-2x)]/2
2f(x)*g(x) = 2 * [a^x + a^(-x)]/2 * [a^x - a^(-x)]/2
= [a^2x -a^(-2x)]/2
所以 f(2x)=2f(x)*g(x)