奇函数f(x)偶函数g(x),满足f(x)+g(x)=a^x,求证f(2x)=2f(x)g(x)

fnxnmn
2010-10-16 · TA获得超过5.9万个赞
知道大有可为答主
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f(x)+g(x)=a^x,……①
把x换成-x得:f(-x)+g(-x)=a^(-x),
因为奇函数f(x)偶函数g(x),所以-f(x)+g(x)=a^(-x),……②
①+②得:g(x)=1/2[a^x+ a^(-x)]
从而f(x)= 1/2[a^x-a^(-x)]
∴f(2x)= 1/2[a^(2x)-a^(-2x)],
2f(x)g(x)=2×1/2[a^x-a^(-x)]×1/2[a^x+ a^(-x)]
=1/2[a^x-a^(-x)] [a^x+ a^(-x)] = 1/2[a^(2x)-a^(-2x)],
所以f(2x)=2f(x)g(x)。
洪晴虹sv
2010-10-16 · 超过13用户采纳过TA的回答
知道答主
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用-x代替x得:f(-x)+g(-x)=a的x次方,又由奇偶性得:-f(x)+g(x)=a的(-x)次方;与原式联立求出f(-x),g(x)的函数式,再代入所要证的式子,化简两边即可证。报歉,手机打字慢,符号打不出,就给你提供了思路!
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