Question

在Rt△ABC中，∠C＝90º，D是AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且DE⊥DF.求证：EF

在Rt△ABC中，∠C＝90º，D是AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且DE⊥DF.求证：EFˇ2＝AEˇ2＋BEˇ2.

Answer 1

证明：

延长FD到G，使DG=DF，连接AG、EG。

∵D是AB的中点，

∴AD=BD，

又∵∠ADG=∠BDF，DG=DF，

∴△ADG≌△BDF（SAS），

∴AG=BF，∠DAG=∠B，

∵∠C=90°

∴∠CAB+∠B=90°

∴∠CAB+∠DAG=90°

即∠CAG=90°

∴EG^2=AE^2+AG^2 =AE^2+BF^2

∵DG =DF ，DE⊥DF

∴DE垂直平分FG，

∴EF=EG（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

∴EF^2=EG^2=AE^2+BF^2