Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=-1/2。

（1） 求证：函数f（x）是奇函数
（2） 求证：函数f（x）在R上是减函数
（3） 试求f（x）在区间[-2,6]上的最值

Answer 1

(1)f（x+y）=f（x）+f（y)
当x=1,y=0时，f(1+0)=f(1)+f(o) 即f(1)=f(1)+f(0) 所以f(0)=0
所以f(x-x)=f(x)+f(-X)=f(0)=0 所以 f(-x)=-f(x) 得证
（2）f（x+y）=f（x）+f（y），所以f(x+1)-f(x)=f(x)+f(1)-f(x)=f(1)=-1/2<0 所以是减函数
（3） 既然是减函数 在区间[-2,6]上的最值 f(-2)最大 f(6)最小
f(-2)=-f(2)=f(1+1)=-[f(1)+f(1)]=1
f(6)=f(5)+f(1)=f(4)+2f(1)=6f(1)=-3

Answer 2

f（x+y）=f（x）+f（y）
f(0)=f(0+0)=F(0)+f(0)
f(0)=0
0=f(0)=f(x-x)f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x) 函数f（x）是奇函数

设0<x f(X+x)=f(X)+f(x) f(X+x)-f(x)=f(x)<0 所以函数f（x）在R上是减函数

最值 f(-2)最大 f(6)最小
f(-2)=-f(2)=f(1+1)=-[f(1)+f(1)]=1
f(6)=f(5)+f(1)=f(4)+2f(1)=6f(1)=-3