八年级数学几何题目求解答
知：如图，在△ABC中，∠C=90°，D是边BC上一点，CD=2，∠B=∠CAD=30°.动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC方向向终点C运动；同时，动点Q从...
知：如图，在△ABC中，∠C=90°，D是边BC上一点，CD=2，∠B=∠CAD=30°.动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC方向向终点C运动；同时，动点Q从点A出发，以每秒√3个单位长度的速度沿AC方向向终点C运动.设运动时间为t秒. （1）求边AC、BC的长？ （2）连结PA、PQ（如图2），当t取何值时，△PAQ的面积是△ADC的面积的一半？ （3）过点Q作QE∥BC交AD于E，连结PE（如图3），是否存在点P、Q，使△PDE是直角三角形？若存在，请直接写出t的值 若不存在请说明理由
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解：（1）在RT△ACD中，AC=CD/tan∠CAD=2/tan∠30°=2√3；在RT△ABC中，BC=AC/tan∠B=2√3/tan∠30°=6；BD=BC-DC=6-2=4；AD=CD/sin∠CAD=2/sin∠30°=4
（2）PC=BC-BP=6-3t，AQ=√3t。容易判断PC⊥AQ，因此△PAQ面积=0.5×PC×AQ=0.5(6-3t)√3t；而△ADC面积=0.5*CD*AC=0.5×2×2√3=2√3。据题意，应有0.5(6-3t)√3t=2√3/2，解得：t=(3±√3)/3。
（3）如果△PDE是直角三角形，易判断∠ADC是锐角，则EP⊥BC或PE⊥DE。
①若EP⊥BC，由于AC⊥BC（∵∠C=90°），则EP//AC，∠EPD=∠C=90°；又∵QE∥BC，∴EP=CQ，△DPE∽△DCA，。因此DP/EP=CD/AC。由于DP=BP-BD=3t-4，EP=CQ=AC-AQ=2√3-√3t，因此(3t-4)/(2√3-√3t)=2÷2√3。从而，解得：t=1.5。
②若PE⊥DE。∵QE∥BC，所以AQ/AC=AE/AD，即AE=AQ/AC×AD=√3t/(2√3)×4=2t，从而ED=AD-AE=4-2t。∵△PED和△ACD都是RT△，并且∠ADC为公共角，∴△DEP∽△DCA，故有DP/DE=AD/CD，即(3t-4)/(4-2t)=4/2，解得：t=12/7。
综上所述，存在这样的P、Q点，且有如上两种情况t=1.5或t=12/7，可以使得△PDE成为直角三角形。
（2）PC=BC-BP=6-3t，AQ=√3t。容易判断PC⊥AQ，因此△PAQ面积=0.5×PC×AQ=0.5(6-3t)√3t；而△ADC面积=0.5*CD*AC=0.5×2×2√3=2√3。据题意，应有0.5(6-3t)√3t=2√3/2，解得：t=(3±√3)/3。
（3）如果△PDE是直角三角形，易判断∠ADC是锐角，则EP⊥BC或PE⊥DE。
①若EP⊥BC，由于AC⊥BC（∵∠C=90°），则EP//AC，∠EPD=∠C=90°；又∵QE∥BC，∴EP=CQ，△DPE∽△DCA，。因此DP/EP=CD/AC。由于DP=BP-BD=3t-4，EP=CQ=AC-AQ=2√3-√3t，因此(3t-4)/(2√3-√3t)=2÷2√3。从而，解得：t=1.5。
②若PE⊥DE。∵QE∥BC，所以AQ/AC=AE/AD，即AE=AQ/AC×AD=√3t/(2√3)×4=2t，从而ED=AD-AE=4-2t。∵△PED和△ACD都是RT△，并且∠ADC为公共角，∴△DEP∽△DCA，故有DP/DE=AD/CD，即(3t-4)/(4-2t)=4/2，解得：t=12/7。
综上所述，存在这样的P、Q点，且有如上两种情况t=1.5或t=12/7，可以使得△PDE成为直角三角形。
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