Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（4，0）、E（-2，0）两点，与y轴交于点B（0，2）

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（4，0）、E（-2，0）两点，与y轴交于点B（0，2），连接AB。过点A作直线AK⊥AB，动点P从点A出发以每秒√5个单位长度的速度沿射线AK运动，设运动时间为t秒，经过P作PC⊥x轴，垂足为c，把△ACP沿AP对折，使点C落在点D处。
（1）求抛物线的解析式。
（2）当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围。
（3）是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小，若存在请求出这个最小距离，若不存在说明理由。

Answer 1

(1)将A,B,E三点代入曲线方程,得
16a+4b+c=0
4a-2b+c=0
c=2
得a=-1/4,b=1/2.则方程式为
y=-1/4x^2+1/2x+2

(2)Sobpc=(1/2)(OB+PC)xAO=(1/2)(2+2t)x(4+t)=4+8t+t^2.
Soab=4
Sacp=t^2
Sabp=Sobpc-Soab-Sacp=8t
则S=Sabp-Sacp=8t-t^2>0
(t-4)^2<16
0<t<8

(3)当OD^2+AD^2=OA^2时,OD最短.(AD的斜率是不变的,即当OD垂直于AD时,OD最短).
即OD^2=16-t^2
而直线AD斜率k=tan∠CAD=tan(2∠CAP)=2tan∠CAP/[1-(tan∠CAP)^2]=-4/3.
即OD斜率为3/4.OD方程为y=3/4x.
AD:OD=3/4
OD=4t/3.即有√(16-t^2)=4t/3
得t=12/5