Question

已知函数fx=ax的平方+【2a-1】x-3在区间【-1.5,2】上的最大值为1。求实数a的值

Answer 1

这道题将分类讨论运用到极致！

储备知识：对于二次函数y=ax²+bx+c (a＞0)，
当a≤x≤b时
1）若 b＜-b/2a 【直线x=-b/2a是二次函数y=ax²+bx+c的对称轴】
则 ymax=f(a)，ymin=f(b) 【min指最小值，max指最大值】
2）若 (a+b)/2≤-b/2a≤b
则ymax=f(a)，ymin=f(b)
3）若 a＜-b/2a＜(a+b)/2
则ymax=f(b)，ymin=f(a)
4）若a＞-b/2a
则ymax=f(b)，ymin=f(a)
【a＜0的情况与a＞0正好相反，故不写了】

答案：a的取值3/4或(-3-2√2)/2

解：
函数y=ax²+(2a-1)x-3
(-b/2a)=(1-2a)/2a

1）当a＞0时
① 2≤(1-2a)/2a，
即a≤1/6时
ymax=f(-3/2)=1
得 (9/4)a-(3/2)•(2a-1)-3=1
a=-10/3（不符合题意，舍去）

②当1/4≤(1-2a)/2a≤2 【1/4=[(-3/2)+2]/2】
即1/6≤a≤2/5时
ymax= f(-3/2)=1
得 (9/4)a-(3/2)•(2a-1)-3=1
a=-10/3（不符合题意，舍去）

③当 -3/2≤(1-2a)/2a≤1/4
即a≥-1，a≥2/5
a≥2/5时
ymax=f(2)=1
4a+2(2a-1)-3=1
8a=6
a=3/4

④当 -3/2≥(1-2a)/2a
即 a≤-1（不符合题意，不讨论）

2）当a＜0时
①当2≤(1-2a)/2a
即a≤1/6时
ymax=f(2)=1
4a+2(2a-1)-3=1
8a=6
a=3/4（不符合题意，舍去）

②当 2/3≤(1-2a)/2a≤2
即a≤1/6，a≤-1
a≤-1时
ymax=f(-b/2a)=1
(4ac-b²)/4a=1【f(-b/2a)= (4ac-b²)/4a】
[-12a-(2a-1)²]/4a=1
得4a²+12a+1=0
a=(-3±2√2)/2
因为(-3+2√2)/2＞-1（不符合题意，舍去）
所以 a=(-3-2√2)/2

③当-3/2≥(1-2a)/2a时
a≥-1
ymax= f(-3/2)=1
得 (9/4)a-(3/2)•(2a-1)-3=1
a=-10/3（不符合题意，舍去）

综上所述，a的取值3/4或(-3-2√2)/2

【希望对你有帮助】

Answer 2

3/4或-2-4√2