Question

当x>0,(x2-1)lnx》(x-1)2

证明

Answer 1

原题是: 求证 x>0,(x^2-1)lnx≥(x-1)^2
证明:1) x=1时 (x^2-1)lnx=(x-1)^2=0 命题真;
2) x>1时
要证 (x^2-1)lnx≥(x-1)^2 即 (x+1)(x-1)lnx≥(x-1)^2
只需证 lnx≥(x-1)/(x+1)
设f(x)=lnx-(x-1)/(x+1)
f'(x)=(1/x)+2/(x+1)^2>0 (x≥1)
f(x)在[1,+∞)上单增
x>1时 f(x)=lnx-(x-1)/(x+1)>f(1)=0
得x>1时, lnx>(x-1)/(x+1) (**)
有 x>1时 (x+1)(x-1)lnx≥(x-1)^2 真
3) 0<x<1时
要证 (x^2-1)lnx≥(x-1)^2 即 (x+1)(x-1)lnx≥(x-1)^2
只需证 lnx≤(x-1)/(x+1)
0<x<1，则1/x>1
由(**)式得 ln(1/x)x>((1/x)-1)/((1/x)+1)
-lnx>(1-x)/(1+x)
lnx<(x-1)/(x+1)
得 lnx≤(x-1)/(x+1)真
有 0<x<1时 (x+1)(x-1)lnx≥(x-1)^2 真
所以 x>0,(x^2-1)lnx≥(x-1)^2

希望能帮到你！