Question

一道数学题，回答出第二问者再加悬赏！

已知双曲线C的方程为：k*y的平方+(4-k)*y的平方=k+1。
（1）.若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为60度，求此双曲线的方程
（2）.满足（1）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线y=x-1对称，若存在，求出PQ的直线方程，若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)若曲线是椭圆，
则有k+1≠0
k/(k+1)>0 （1）
(4-k)/(k+1)>0 （2）
解此不等式组有：对于（1）有 k>0且k+1>0 或 k<0且k+1<0
有k>0 或k<-1
对于(2) 有4-k>0且k+1>0 或 4-k<0且k+1<0
有 -1<k<4
则k最终取值可以画数轴取其公共部分：0<k<4
(2)若c为双曲线，k+1≠0
则有x^2/((k+1)/k)+y^2/((k+1)/(4-k))=1
若焦点在x轴，则有
(k+1)/k>0
(k+1)/(k-4)>0
则有k>4 或 k<-1

若焦点在y轴，
则有
(k+1)/(4-k)>0
-(k+1)/k>0
则此时k无解

因此焦点必在x轴上，
一条渐近线的倾斜角为60度，即斜率为：tan60=√3
即b/a=√3
其中a=√((k+1)/k),b=√((k+1)/(k-4))
代入解得k=-2 (满足k>4 或 k<-1)
把k=-2代入，则双曲线方程为：2x^2-6y^2=1 （3）
(3)假设存在这样的两点P,Q,则直线l为PQ的垂直平分线，则直线PQ的斜率与直线l的斜率互为负倒数，即直线PQ的斜率为-1，
则设直线PQ为y=-x+b （4）
则直线PQ与双曲线有两个交点。
把(4)代入(3)则有整理得：
4x^2-12bx+6b^2+1=0
则要求(12b)^2-4*4*(6b^2+1)>0,即3b^2-1>0
b>√3/3或b<-√3/3 (5)
则x1=(12b+√(3b^2-1))/8,x2=(12b-√(3b^2-1))/8
则由(4)式知：y1=(-4b-√(3b^2-1))/8,y2=(-4b+√(3b^2-1))/8
则P（x1,y1),Q(x2,y2)中点H(x3,y3)一定在y=x-1上，
x3=(x1+x2)/2=3b/2,y3=(y1+y2)/2=-b/2
（x3,y3）代入y=x-1上则有
-b/2=3b/2-1,则有b=1/2不满足(5)式，所以矛盾，这样的P，Q点不存在。

√是指的二次根号

Answer 2

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