Question

高中数列题目

已知正项数列{an}的首项a1=-1/35,函数f(x)=x/(1+3x)
(1)若数列{an}满足a(n+1)=f(an) [注：n+1为下标](n大于等于1且n属于N)，试证明数列{1/an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式
(2)求数列{1/an}的前n项和Sn，并指出当n取何数时，Sn有最小值，最小值为多少？

Answer 1

见图

Answer 2

∵a(n+1)=f(an)

∴a(n+1)=an/(1+3an)

1/a(n+1)=(1+3an)/an （同时取倒数）

1/a(n+1)=1/an+3an/an

1/a(n+1)=1/an+3 即为

1/a(n+1)-1/an=3 为一个固定的常数 等差数列d=3

1/an=1/a1+(n-1)d=-35+(n-1)×3=3n-38

an=1/(3n-38)

(2)Sn=n1/a1+n(n-1)d/2=-35n+3n(n-1)/2=3n²/2-73n/2

Answer 3

a(n+1)=an/(1+3an)