Question

已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8,就f(x)的解析式

f(2-t)=2f(t)-(2-t)^2+8(2-t)-8=2f(t)-t^2-4t+4
这个式子是怎么得来的

Answer 1

解：
∵f(x)=2f(2-x)-x^2+8X-8........................1
把f(x)的x换为(2-x)得：
f(2-x)=2f(x)-(2-x)^2+8(2-x)-8
f(2-x)=2f(x)-4x+4-x^2......................2
把2代入1得：
f(x)=x^2.
..................................................................................
2)求曲线y=f(x)在点（1，f（x））处的切线方程
解：由于
f(x)=x^2
f(1)=1
(1,1)
导数y'=2x
在x=1时。
y'=2斜率
点斜：
y-1=2(x-1)
2x-y-1=0

Answer 2

函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8
所以函数F(X)应该是二次函数
设F(X)=AX^2+BX+C
则F(2-X)=A(2-X)^2+B(2-X)+C=4A^2-4AX+AX^2+2B-BX+C
显然如果F(X)不是二次函数,f(x)=2f(2-x)-x^2+8x-8一定不成立.
又 AX^2+BX+C=2(A(2-X)^2+B(2-X)+C)-x^2+8x-8
=2AX^2-8AX+8A^2+4B-2BX+2C-x^2+8x-8
==>-AX^2+3BX+8AX-C-4B-8A^2=-x^2+8x-8
等式恒等
必有 -A=-1 3B+8A=8 -C-4B-8A^2=-8 ==>A=1 B=0 C=0
所以F(X)=X^2

Answer 3

令t=2-x,则x=2-t,代入方程得
f(2-t)=2f(t)-(2-t)^2+8(2-t)-8=2f(t)-t^2-4t+4
则f(2-x)=2f(x)-x^2-4x+4，
代入得f(x)=2[2f(x)-x^2-4x+4]-x^2+8x-8
则f(x)=x^2