设n阶矩阵A满足A^2=E,试证:R（E-A） R（E A）=n
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A^2=E
则
(E-A)(E+A)=E-A^2=0
则E+A的列向量，都是(E-A)X=0的解
而此方程解空间的秩是n-R(E-A)
因此R（E+A） ≤n-R(E-A)
则R(E-A) + R（E+A）≤n 【1】
而R(E-A) + R（E+A）≥R(E-A + E+A) =R(2E) = n【2】
由【1】【2】，可得
R（E-A）+R(E+A)=n
则
(E-A)(E+A)=E-A^2=0
则E+A的列向量，都是(E-A)X=0的解
而此方程解空间的秩是n-R(E-A)
因此R（E+A） ≤n-R(E-A)
则R(E-A) + R（E+A）≤n 【1】
而R(E-A) + R（E+A）≥R(E-A + E+A) =R(2E) = n【2】
由【1】【2】，可得
R（E-A）+R(E+A)=n
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