Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过A点作AG‖

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过A点作AG‖BC交于FD的延长线于点G。
（1） 求证：AG=BF;
（2） 若AE=9，BF=18，求线段EF的长。

Answer 1

（1）∵D为AB的中点
∴AD=BD
又AG‖BC
∴∠G=∠BFD
在△AGD和△BFD中
AD=BD,∠G=∠BFD，∠ADG=∠BDF
∴△AGD≌△BFD
∴AG=BF
（2）连EG由①得DF=GD，BF=AG
∵DE⊥DF
∴∠EDF=∠EDG
在△EDF和△EDG中
ED=ED,∠EDF=∠EDG,DF=DG
∴△EDF≌△EDG
∴ EF=EG
∵AE+AG＞EG＞AG-AE
∴AE+BF＞EF＞BF-AE
即9＜EF＜27
∴AE+BF＞EF