Question

点O是等边三角形ABC内一点,角AOB=110,角BOC=α,将三角形BOC绕点C按顺时针方向旋转

点O是等边三角形ABC内一点，角AOB=110度，角BOC=α，将角形BOC绕点C按顺时针方向旋转60度，得三角形ADC，连接OD。
1.求证三角形COD是等边三角形。
2.当X=150度时，试判断三角形AOD的形状，并说明理由。
3.探究当X为多少度时，三角形AOD是等腰三角形

Answer 1

1、根据旋转的性质，CO＝CD，角OCD＝60度，所以三角形COD为等边三角形

2、当X=150度时，角ADO也为150度，而角ODC＝60度，所以角ODA＝90度

三角形AOD为直角三角形

3、角AOC＝360-110-X＝250-X，角AOD＝角AOC-60＝190-X

角ADC＝角BOC＝X，所以，角ODA＝X-60

三角形为等腰三角形，当AO＝OD进，角AOD+2×角ODA＝180

即190-X+2×（X-60）＝180,解得X＝110度

当AO＝AD时，角AOD＝角ODA，即190-X＝X-60，解得X＝125度

当OD＝AD时，2×（190-X）+X-60＝180,解得X＝140

所以当X为110度、125度、140度时，三角形AOD是等腰三角形

Answer 2

1、根据旋转的性质，CO＝CD，角OCD＝60度，所以三角形COD为等边三角形
2、当X=150度时，角ADO也为150度，而角ODC＝60度，所以角ODA＝90度
三角形AOD为直角三角形
3、角AOC＝360-110-X＝250-X，角AOD＝角AOC-60＝190-X
角ADC＝角BOC＝X，所以，角ODA＝X-60
三角形为等腰三角形，当AO＝OD进，角AOD+2×角ODA＝180
即190-X+2×（X-60）＝180,解得X＝110度
当AO＝AD时，角AOD＝角ODA，即190-X＝X-60，解得X＝125度
当OD＝AD时，2×（190-X）+X-60＝180,解得X＝140
所以当X为110度、125度、140度时，三角形AOD是等腰三角形

Answer 3

1、根据旋转的性质，CO＝CD，角OCD＝60度，所以三角形COD为等边三角形
2、当X=150度时，角ADO也为150度，而角ODC＝60度，所以角ODA＝90度
三角形AOD为直角三角形
3、角AOC＝360-110-X＝250-X，角AOD＝角AOC-60＝190-X
角ADC＝角BOC＝X，所以，角ODA＝X-60
三角形为等腰三角形，当AO＝OD进，角AOD+2×角ODA＝180
即190-X+2×（X-60）＝180,解得X＝110度
当AO＝AD时，角AOD＝角ODA，即190-X＝X-60，解得X＝125度
当OD＝AD时，2×（190-X）+X-60＝180,解得X＝140
所以当X为110度、125度、140度时，三角形AOD是等腰三角形

Answer 4

解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC．
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是Rt△．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是Rt△．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α-60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．