Question

变限积分与不定积分一样吗?

变限积分与不定积分一样吗?

Answer 1

不一样，但有关联。当上限为积分变量，下限为常数时候，是同积分函数的不定积分的其中一个。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

注：

1.函数变量是x，t为积分变量，两者应注意区别。

2.积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变上限函数即可。

3.从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积。

扩展资料：

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：

注：

（1）区间a可为-∞，b可为+∞；

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

参考资料：百度百科——不定积分

参考资料：百度百科——积分变限函数

Answer 2

　　不一样，但有关联。当上限为积分变量，下限为常数时候，是同积分函数的不定积分的其中一个。