Question

已知:abc为互不相等的数，且满足（a-c）∧2＝4（b-a）（c-b）。求证:a-b＝b-c

Answer 1

显然a-c=(a-b)+(b-c)
所以原式可变为
（(a-b)+(b-c)）²=4（b-a）（c-b）
推出(a-b)²+(b-c)²-2（b-a）（c-b）=0
即（(a-b)-(b-c)）²=0故(a-b)-(b-c)=0，即a-b=b-c
亦可以在开始时换元(a-b)=x，(b-c)=y，更清楚一点，如下
原式就变为
（x+y）²=4xy
推出（x-y）²=0，从而x=y，得证。

Answer 2

（a-c）∧2＝4（b-a）（c-b）
a^2-2ac+c^2=4(bc-b^2-ac+ab)
a^2-2ac+c^2-4bc+4b^2+4ac-4ab=0
a^2+4b^2+c^2+2ac-4ab-4bc=0
(a^2+2ac+c^2)-4b(a+c)+4b^2=0
(a+c)^2-2(a+c)×2b+(2b)^2=0
(a+c-2b)^2=0
a+c-2b=0
a-b=b-c

Answer 3

（a-c）∧2＝4（b-a）（c-b）
a²+c²-2ac=4(bc-ac-b²+ab)
a²+4b²+c²-4bc+2ac-4ab=0
(a²+c²+2ac)-4b(a+c)+4b²=0
(a+c)²-4b(a+c)+4b²=0
(a+c-2b)²=0
∴a+c-2b=0, a-b=b-c