Question

证明1-1/2+1/3-1/4+1/5-....+(-1)^(n-1)/n收敛

要求用柯西收敛原理证明，谢谢

Answer 1

证：对于任意的m,n属于正整数，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m <1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m =（1/n-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m <1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限

Answer 2

证明 1/n^(3/2) 收敛
因为这个是p级数
而
p=3/2>1
所以
收敛。