Question

连接对角线互相垂直的四边形各个中点，所得的四边形是什么形状？写出已知求证

Answer 1

所得的四边形是矩形

设四边形ABCD的对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD边的中点，求证：四边形EFGH是矩形。

证明：

∵E是AD的中点，F是AB的中点，G是BC的中点，H是CD的中点，

∴EF是△ABD的中位线，HG是△BCD的中位线，

   EH是△ACD的中位线，FG是△ABC的中位线，

∴EF//BD，HG//BD，EH//AC，FG//AC，

∴EF//HG，EH//FG（平行于同一直线的两条直线互相平行），

∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），

设AC与BD交于O，AC与EF交于M，

∵AC⊥BD，

∴∠DOC=90°，

∵EF//BD，

∴∠EMO=∠DOC=90°，

∵FG//AC，

∴∠EFG=∠EMO=90°，

∴四边形EFGH是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）。