Question

高二中立体几何证明

三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA’⊥α于A‘，BB’⊥α于B‘，CC’⊥α于C‘，G、G’分别是△ABC和△A‘B’C‘的重心。求证：GG’⊥α

Answer 1

连接BG,B'G'并分别延长交对边于D，D’，因为AA’平行于CC’（这我就不证了），又因为D，D’分别为AC，A’C’的中点，所以DD'平行于AA'（这里要分两种情况讨论，A'C'平行于AC或者不平行，但都是可以证明的，属于平面几何范畴。高二的立体几何里这步证明可以省略）所以DD'平行于BB'。所以BD，B'D'共面。因为G属于BD，G'B'D'，属于所以B，B’，G，G'共面。同理可证明AA'C'c共面。因为AA'平行于BB'，所以AA'平行于BB'GG'，因为GG'为平面AA'G'G与BB'G'G的交线，根据线面平行定理，AA'平行于GG'，因为AA'α垂直于α ，所以GG'垂直于α