Question

函数y=f(X)对任意x,y属于R，恒有f(X+y)=f(x)+f(y).

(1)求证：y=f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a,求f(24)；
(3)如果x>0时，f(x)<0且f(-1)=-1/2,试求f(x)在区间[-2，6]上的最大值和最小值.
抱歉，是f（-1）=-1/2

Answer 1

解：（1）证明令x=y=0则有f(0)=0令y=-x则f(0）=f(x）+f(-x）=0即y=f(x）为奇函数
（ 2）f(-3)=a则f(3)=-a则f(6)=f（3）+f（3）=-2a
f（12）=2f（6）则f（24）=2f（12）=4f（6）=-8a
（3）x>0时，f(x)<0？？f（-1)=-1/2则f（1）=1/2这不矛盾吗？是不是题有问题？若题改为如果x>0时，f(x)<0且f(-1)=1/2,试求f(x)在区间[-2，6]上的最大值和最小值.则解答如下
奇函数为单调函数则由f(0)=0，x>0时，f(x)<0知在[-2，6]上递减由奇函数则最大值是当x=-2时取得，为f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1最小值当x=6时取得，为f（6）=3f（2）=-3

Answer 2

f(0+x)=f(x)+f(x) --->f(0)=0

f(x-x)=f(x)+f(-x) = 0 ---->f(x)= - f(-x)，定义域在R，所以为奇函数

f(-3)= - f(3) = -a
f(24)=f(21+3)=f(21)+f(3)=f(18+3)+f(3)=...=8f(3)= - 8a

设增量k＞0，有
f(x+k)=f(x)+f(k) --->f(x+k)-f(x) =f(k) <0，所以f(x)为在定义域内都是单调减函数，最大值max=f(-2),最小值min=f(6)

f(-2)=2f(-1)=-1
f(6)=6f(1)=6 - f(-1)=3。。。。。。。。。。。你是不是抄错题了，如果f(x)是奇函数，f(-1)= -f(1)=1/2,而按条件 ,f(1) x>0时，f(x)<0