Question

矩阵的秩和矩阵的特征值个数的关系，并证明

Answer 1

关系：

1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。

2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。

证明：

定理1：n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 

定理2：设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。 

定理3：设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0恰为A的n-k重特征值。 

定理4：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0至少为A的n-k的重特征值。 

定理5：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可相似对角化，则λ=0恰为A的n-k重特征值。   　　

定理6：设A为n阶方阵，矩阵的秩rf（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可对角化，则λ=0恰为f（A）的n-k重特征值。 

例1：

设矩阵A=1  2   3   42  4   6   83  6   9  124  8  12  16 ，求矩阵A的特征值，矩阵A的秩。 

解：得到A→1  2   3   40  0   0   00  0   0   00  0   0   0 ，则矩阵A的秩r（A）=1。 

通过上例，我们发现λ=0为A的三重特征值，而A的秩r（A）=4-3=1。下面的定理给出了相应的结论。 

证：由定理2，实对称矩阵必能相似对角化，因此A必有n个线性无关的特征向量，即每一个特征值对应一个线性无关的特征向量，重根对应线性无关的特征向量的个数等于其重数[1]，故由秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0对应的特征向量恰有n-k个，即λ=0恰为A的n-k重特征值。 

以上例题和相关定理均给出了矩阵的秩得到矩阵的特征值的情况，反过来，若n阶方阵A恰有k（0<k<n）个特征值为0，则矩阵A的秩大于等于n-k。

所以，方阵A不满秩等价于A有零特征值，A的秩不小于A的非零特征值的个数。

扩展资料

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

矩阵的秩的变化规律及证明

1、转置后秩不变

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

3、r(kA)=r(A),k不等于0

4、r(A)=0 <=> A=0

5、r(A+B)<=r(A)+r(B)

6、r(AB)<=min(r(A),r(B))

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)

证明：
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有

|AB A|　　

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

|0 A |

|-B En|

所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n matrix。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

8、P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

Answer 2

矩阵有特征值必须是方阵
矩阵的秩是最高阶非0子式。
n阶矩阵必定有n个特征值，(特征值可能是虚数)
对于n阶实对称矩阵，不同特征值的高数和矩阵的秩相等

追问

第二句和最后一句不懂，比如元素全是1的矩阵，秩是1，特征值是0和n，怎么确定0的重数

Answer 3

引用东风冷雪的回答：
矩阵有特征值必须是方阵
矩阵的秩是最高阶非0子式。
n阶矩阵必定有n个特征值，(特征值可能是虚数)
对于n阶实对称矩阵，不同特征值的高数和矩阵的秩相等

最后一句应该改为：对于实对称矩阵或可相似对角化的矩阵，其秩就是非零特征值的个数

Answer 4

“关系: 1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。 2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。 证明: 定理1:n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 定理2:设A为n阶实对称矩阵,则A必能相似对角化。 定