Question

定义在R上的函数f(x)对任意的x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1 且x>0时 f(x)>1 求证

（1）f（x)是R上的增函数
（2）函数g(x)=f(x)-1(x∈R）是奇函数

Answer 1

1。根据题意 先令x=y=0 可得F(0)=1
再将y=-x带入可得f(x-x)=f(x)+f(-x)-1 即f(x)+f(-x)=2
f(-x）=2-f（x）
设X1 X2 属于R 并且X1>X2 则f(X1-X2)=f(X1)+2-f(X2）-1
所以f(X1)-f(X2）=f(X1-X2)-1>0
故f（x)是R上的增函数
2。g(x)=f(x)-1
g(-x)=f(-x)-1 由第一问知f(-x）=2-f（x）
带入可得g(-x)=2-f（x）-1=1-f（x）=-g（x）
g（0）=f（0）-1=0 所以函数g(x)=f(x)-1(x∈R）是奇函数