Question

已知方程x^2+px+q=0两实数根分别为α，β且满足α^2+β^2=1

1.求p与q满足的关系式
2.求函数q=f(p)的最大和最小值

Answer 1

1.
α+β=-p-----⑴
α*β=q------⑵
⑴⑵得
则有p^2=2q+1

2.让α=sina,β=cosa(a∈[0,2π])
f(p)=(p^2-1)/2=q
可化成sina*cosa=(2sin(a+π/4)^2-1)/2=q
a+π/4∈[π/4,9π/4 ]
则sin(a+π/4)^2最大值为1,最小值为0
所以q最大值为1/2,最小值为-1/2

Answer 2

设…
α=cosa,β=sina
p和q关系：
cos²a+pcosa+q=0 ①
sin²a+psina+q=0 ②
①-②
p=-(cosa+sina)ε[-√2,√2]
f(p)max=√2
f(p)min=-√2