lim x→∞，（1+x）^（1/x）的极限是1。
解题过程如下：
lim x→∞,(1+x)^(1/x)
=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))]
=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)]
其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)=lim x→∞,[ln(1+x)]/x
∞/∞型，使用洛必达法则，上下同时求导，得到
lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0
原式=lim x→∞,e^0=1
扩展资料
单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。
①利用函数连续性：
（就是直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）
②恒等变形：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）
答案为1。
解题过程如下：lim x→∞,(1+x)^(1/x)
=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))]
=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)]
其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)=lim x→∞,[ln(1+x)]/x
∞/∞型，使用洛必达法则，上下同时求导，得到
lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0
原式=lim x→∞,e^0=1
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）。
扩展资料
极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。
“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。
=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))]
=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)]
其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)=lim x→∞,[ln(1+x)]/x
∞/∞型，使用洛必达法则，上下同时求导，得到
lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0
所以e的指数部分极限是0，原式=lim x→∞,e^0=1
为什么他们都得e？
另一个类似的是重要极限公式，有两种表达形式①lim x→∞,(1+1/x)^x=e②lim x→0,(1+x)^(1/x)=e，和这道题有明显的区别
重要极限公式证明：
首先证明lim x→+∞,(1+1/x)^x=e.
不妨设x＞1，对任何实数x＞1，都存在正整数n，使得n≤x＜n+1，所以有
[1+1/(n+1)]^n≤(1+1/x)^x≤(1+1/n)^(n+1)
显然lim n→∞,[1+1/(n+1)]^n=lim n→∞,[1+1/(n+1)]^(n+1) × [1+1/(n+1)]^(-1)=e，
lim n→∞,(1+1/n)^(n+1)=lim n→∞,(1+1/n)^n × (1+1/n)=e，
注意到x→+∞与n→∞，由夹挤定理，可知lim x→+∞,(1+1/x)^x=e。
然后证明lim x→-∞,(1+1/x)^x=e，令x=-t，则当x→-∞时，t→+∞，于是有
lim x→-∞,(1+1/x)^x=lim t→+∞,(1-1/t)^(-t)=lim t→+∞,[t/(t-1)]^t=lim t→+∞,[1+1/(t-1)]^(t-1) × [1+1/(t-1)]=e
所以lim x→∞,(1+1/x)^x=e
这个和上面那个解答是截然不同的
x-无穷，1/x-0
t-0
原是=limt-0 (1+1/t)^t=e
答：答案是e。
这个是固定极限
